5.12.2017

К вопросу об эффективности конечно-элементного моделирования

В статье рассматриваются практические аспекты применения МКЭ и демонстрируется их переусложненность и плохая применимость в случае расчета неоднородных сред. Авторами предлагается альтернативное решение неоднородных в объеме задач с применением прямого вычислительного алгоритма, приводятся практические примеры расчетов и их технико-экономические параметры.

 

Александр Шумейко

Доцент РГУ (НИУ) нефти и газа им. И.М.Губкина

Geomodel@mail.ru

 

Михаил Яскевич

Директор ООО «Центр инноваций СП» (Сколково)

yas11@yandex.ru

 

В настоящее время решение задач в объемной постановке является более востребованным по сравнению с решениями плоских задач и их применением к объему. Необходимость в численном моделировании физических процессов со значительной неоднородностью и переменностью свойств возникает на практике при расчетах несущих свойств грунтов, осадок фундаментов зданий и сооружений, при планировании разработки месторождений углеводородного сырья. Общим моментом для перечисленных задач является учет значительной неоднородности свойств объекта.

Критическим этапом при обработке геофизической, геологической, экономической, технической и производственной информации для принятия обоснованного решения является моделирование основного физического процесса или состояния. Такие параметры, как «объем допустимой входной информации», «время счета» и «детальность и точность расчета» определяют качество процесса моделирования.

Существующий математический аппарат обеспечивает одностороннее решение задачи – либо хорошую точность и детальность решения при значительной загрузке памяти компьютеров и времени счета, либо сниженную точность решения при экономии вычислительных ресурсов. При численном расчете сложных физических процессов или состояний для применяемой математической модели объемной неоднородной среды основное внимание уделяется возможности учета различных свойств и полноте описания явлений в реальном объеме, без оценки их влияния на решение в конечной математической модели. Это приводит к неоправданному усложнению и модели, и процесса счета.

Применяющиеся в настоящее время методы численных решений используют «интеллектуальные» математические модели, требующие решения систем линейных уравнений с огромным перерасходом вычислительных ресурсов, в то время как простые методы с использованием прямого вычисления необходимых параметров, но в сочетании со статистической моделью изучаемой среды, позволяют получить вполне соответствующий практике результат.

Об этой, неприятной, стороне моделирующих пакетов программ разработчики умалчивают, маскируя получаемый результат в массе графических отображений некоторого полученного результата. При этом квалифицированный пользователь легко обнаруживает физическую некорректность выполняемых расчетов. Необходимость применения расчетных методов с применением массового программного обеспечения может приводить к катастрофическим или бесполезным, с точки зрения инженерной науки, результатам.

 

Решение задачи об подтоплении сооружений на неоднородном грунте

Расчетная схема на базе «простого» алгоритма подтвердила свое право на существование при применении базового модуля по расчету перетоков грунтовых вод. Пример эффективного решения инженерной задачи о подтоплении городской территории при застройке с применением прямой вычислительной схемы приведен на рисунке 1.

Расчет изменения уровня грунтовых вод из-за уплотнения городской застройки при минимальном наборе известных данных и за минимальное время определил повышение их уровня на 0,8 – 1,0 м, а также позволил выделить опасную территорию. Рассчитанные параметры вполне подтвердились на практике. В дальнейшем такие расчеты могли бы помогать предотвращать многомиллионные расходы по преодолению аналогичных последствий строительства.

Кроме того, «простая» схема может быть применена для расчета подтопления территорий и распространения загрязнений грунтовых вод, для расчета осадок в грунтовых и горных неоднородных массивах.

Рис.1. Моделирование подтопления городской застройки

 

Решение задачи об осадке сооружений на неоднородном грунте

Сравним задачу, решаемую при расчете осадки зданий с применением конечно-элементного построения и по предлагаемому в данной статье «простому» алгоритму. Необходимо обратить внимание читателей, что интересующая задача осадки прямоугольного в плане фундамента в стандартном пакете сведена к плоской задаче. Результат такого приближения распространяется на решение поставленной задачи пространственного расчета. Причина подмены заключается в значительно более сложном построении трехмерной конечно-элементной сетки. Полное время постановки, решения и проверки объемной задачи могут на порядок превышать получение решения по малообоснованной плоской схеме. Подобные решения применяются на практике постоянно и стали неким стандартом поведения. В строительстве так называемые расчетные методы приводят к завышению затрат и не гарантируют получения реальных прогнозов.

Рис 2. Постановка задачи и решение в существующем прикладном пакете по расчету осадки грунтов

 

В то же время возможно получение решения по «простой» численной схеме со значительной экономией времени и в объемной постановке.

Во-первых, сеточное разбиение соответствует координатной сетке и не требует специальных средств. По условиям формирования расчетного алгоритма сетка может быть не только равномерной, но и переменной по шагу с соблюдением условия достаточной гладкости изменения шага.

Во-вторых, численный алгоритм решения демонстрирует устойчивость и сходимость. Экономичность процесса счета обеспечивается прямым вычислением значений без решения системы линейных уравнений.

В-третьих, простота применения позволяет производителю расчетов сформировать и просчитывать необходимые, статистически достоверные тесты и убеждаться в корректности получаемых результатов расчета.

При этом стоит обратить внимание, что конечно-элементная схема в стандартном пакете не показала неоднородности распределения перемещений в глубине, что, кстати, соответствует теоретическому решению, а «простой» алгоритм показал эту неравномерность.

Рис 3. Распределение вертикальных осадок основания сечении Х при объемной постановке задачи для «простого» алгоритма

 

На рисунке 3 представлены результаты работы программы на исходных данных, соответствующих поставленной тестовой задаче. При этом вычислительное быстродействие обеспечивает получение практического результата за время приблизительно 90 минут для расчета объема в 1 000 000 узлов по сравнению с 240 – 300 минут решения практических задач с применением существующих коммерческих проектов.

 

Схема построения «простого» алгоритма

Для прямого численного решения используется алгоритм, основанный на модифицированном методе шахматных клеток или «игры в классики» или методе Гурли [7]. В исходной форме алгоритма Гурли при первом подсчете величин используется явная схема для всех, например, нечетных узлов и последующее применение неявной схемы для остальных, т.е. нечетных узлов или:

После решения первого уравнения становятся известны величины и , что позволяет определить явным методом. Способ Гурли, безусловно, устойчив, и его порядок точности . Однако, схема применения не меняется по времени, что предполагает раздельное накопление ошибок, связанных с явной и неявной формулами. Авторами разработана и опробована модификация, предполагающая чередование применения явной и неявной схем к четным и нечетным узлам.

При решении предлагаемым методом необходимо выделить первый – явный и второй – неявный полушаги. При этом набор значений, определенных на первом полушаге, позволяет добиться простого определения прочих значений на текущей временной итерации.

Доказательство устойчивости, сходимости и практической применимости метода представлено при реализации программных продуктов для следующих задач:

численный расчет изменения давлений в нефтегазовых резервуарах при их разработке для оценки напряженно-деформированного состояния горных пород, планирования процесса оптимальной разработки месторождений и оценки экологических и техногенных воздействий. Результаты расчета используются для обоснования принимаемых технических и экономических решений, а также расчета просадок земной коры на значительных площадях;

численный расчет изменения уровня грунтовых вод с целью оценки изменения свойств грунтов при строительных работах и их учета при расчете напряженно-деформированного состояния оснований [4];

численный расчет напряженно-деформированного состояния оснований зданий и сооружений с использованием детальной геологической модели [2,3].

По результатам работ один из авторов защитил кандидатскую диссертацию [5] и опубликовал книгу [6].

Прямой вычислительный метод решения снижает затраты оперативной памяти и время счета в несколько раз по сравнению с существующими аналогами. Дополнительное преимущество представляет простой способ подготовки данных и автоматическая разбивка на расчетные элементы с переменными свойствами. В опубликованных работах доказана вычислительная и экономическая эффективность разработанной схемы.

 

Список литературы
1. О.Зенкевич, К.Морган, Конечные элементы и аппроксимация, Мир, Москва, 1986.
2. Шумейко А.Э. Экономичный метод численного расчета упругого полупространства. // Механика Деформируемого твердого тела. №4. -2008. С. 18-24.
3. Шумейко А.Э. Экономичный метод численного расчета оснований зданий. // Жилищное строительство. №10/2007. С. 22-24.
4. Шумейко А.Э. Современный метод расчета уровня грунтовых вод при застройке территорий. // Жилищное строительство. №12/2007. С. 25-26.
5. Шумейко А.Э., Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Моделирование эволюционных процессов при условии сильной неоднородности в объеме. РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2011 год.
6. Шумейко А.Э. Моделирование задач неоднородных в объеме. Ламберт, 2014, с.96
7. Gourlay A.R., Hopscotch: A fast second order partial differential equation solver, J Inst. Math. Appl., 6, pp 375-390.

 

 

Уважаемые читатели! Если у Вас после прочтения какой-либо статьи появилось желание высказаться по затронутой проблеме, Вы можете подготовить свою статью или развернутый комментарий и выслать его на электронный адрес info@geoinfo.ru. Наиболее интересные комментарии будут отбираться редакцией и публиковаться под указанной Вами в письме статьей. Если же Ваш материал превысит по объему 3-4 страницы, то мы с удовольствием опубликуем его как отдельную статью. Обращаем Ваше внимание, что все комментарии и статьи должны сопровождаться данными автора: имя и фамилия, должность и место работы, контактный e-mail.

© ООО «ГеоИнфо» 2016

Яндекс.Метрика

Пользовательское соглашение - оферта