Продолжаем рассматривать содержание "Колонок Вермеера" в Plaxis Bulletin — объединенном журнале компании PLAXIS BV и Ассоциации пользователей PLAXIS (NL). Напомним, что автор этих колонок — известный голландский профессор Питер Вермеер, являющийся научным основателем PLAXIS — популярного конечноэлементного программного комплекса для решения геотехнических задач. В первых четырех частях [1-4] мы обращались к заметкам этого автора в № 5-8 и № 10 журнала Plaxis Bulletin. Здесь будет представлен обзор "Колонки Вермеера" из № 12 [5], выпущенного в преддверии выхода восьмой версии PLAXIS. Речь здесь пойдет об одометрической жесткости слабых грунтов, корреляциях индекса компрессии и входных параметрах для модели упрочняющегося грунта при использовании этой версии программы.
Статья подготовлена при поддержке компании "НИП-Информатика" — партнера журнала "ГеоИнфо".
В начале своей колонки в 12-м выпуске журнала Plaxis Bulletin (2002 г.) [5] Питер Вермеер напоминает, что для сжатия нормально уплотненных глинистых грунтов используется логарифмический закон:
Однако Терцаги и другие основоположники механики грунтов, предложившие и использовавшие этот закон, жили в докомпьютерные времена, когда графики строились вручную на бумаге с нанесенной на нее десятичной логарифмической сеткой. Но в наше время выведенные ими формулы приходится модифицировать для возможности их удобного использования в компьютерных программах. Следовательно, как указывает Вермеер [5], надо переходить от десятичных логарифмов к натуральным. В этом случае переформулированный логарифмический закон сжатия нормально уплотненных грунтов будет выглядеть следующим образом:
Поскольку вместо коэффициента пористости удобно использовать деформацию, можно получить следующую формулу для этого закона:
Далее в своей заметке [5] Вермеер использует индекс компрессии Cс, модифицированный коэффициент компрессии λ* и модуль деформации Eoed, полученный по результатам испытаний в одометре.
Автор колонки [5] приводит одну из самых известных геотехнических корреляций (о которой подробнее предлагает узнать в книге Терцаги и Пека [6]):
Он также приводит корреляцию, предложенную Ротом и Вудом [7]:
Несмотря на кажущуюся разницу, корреляции (4) и (5) с точки зрения Вермеера [5] практически идентичны, так как число пластичности обычно можно аппроксимировать следующим образом:
Действительно, для нормально уплотненных грунтов, за исключением пылеватых песков, точки корреляционной зависимости «Ip – WL» располагаются примерно на прямой линии, параллельной так называемой линии А диаграммы пластичности Казагранде (рис. 1).
При использовании формулы (6) корреляция Терцаги и Пека (4) будет выглядеть так:
что очень близко к формуле Рота и Вуда (5).
Учитывая большое количество доказательств в пользу корреляций (5) и (6), Вермеер пришел к выводу, что можно использовать и ту, и другую. Соответственно, можно применять обе следующие формулы:
Последняя лишь незначительно отличается от корреляции (4). По мнению Вермеера, она даже немного лучше.
Далее автор заметки [5] обращается к взаимосвязи между модифицированным коэффициентом компрессии λ* и индексом компрессии Cс:
Эта аппроксимация получается для коэффициента пористости e, примерно равного единице. Если говорить в общем, то допущение e ≈ 1 является грубым, но оно работает в контексте корреляций для слабых грунтов.
В сочетании с приведенными выше корреляциями для Cс зависимость (10) приводит к следующим формулам:
Для прямой оценки корреляций (11) и (12) Вермеер [5] рассматривает экспериментальные данные Энгеля [8] – модифицированные коэффициенты компрессии λ* для двадцать одного образца различных глин и пылеватых грунтов с пределами текучести в диапазоне от 0,2 до 1,1 и числами пластичности от 0,03 до 0,70 (см. рис. 1, рис. 2, 3).
Из рисунка 2 можно сделать вывод, что корреляция (11) имеет некоторые недостатки. Тщательная проверка показывает, что она хороша для глин с числами пластичности Ip выше линии А на графике пластичности Казагранде (см. рис. 1), но не для пылеватых грунтов со значениями Ip ниже этой линии.
Чтобы включить в корреляционную зависимость и свойства пылеватых грунтов, лучше было бы использовать формулу (12), как это продемонстрировано на рис. 3. Из графика связи модифицированного коэффициента компрессии λ* и предела текучести WL (см. рис. 3) видно, что между ними имеется чрезвычайно хорошая корреляция. Здесь Вермеер [5] напоминает, что корреляция (12) не только подтверждается данными Энгеля [8], но и полностью соответствует результатам работ по корреляциям для Cс, полученным Ротом и Вудом [7], а также Терцаги и Пеком [6]
Далее Вермеер [5] переходит к рассмотрению жесткости слабого грунта по результатам испытаний в одометре. С этой целью он записывает логарифмический закон сжатия (3) в дифференциальной форме:
Таким образом, касательная жесткость по результатам сжатия в одометре, также называемая одометрическим модулем деформации, пропорциональна напряжению. Следовательно:
Эта линейная зависимость жесткости грунта от напряжения хороша для нормально уплотненных глинистых грунтов, но не для песчаных. Поэтому Оде [9] и Янбу [10] предложили обобщение следующего вида:
Это уравнение сводится к линейной зависимости жесткости от напряжения при показателе m, равном единице. Таким образом, в частном случае для m = 1 получается логарифмический закон сжатия для нормально уплотненных грунтов.
Для песчаных грунтов показатель степени m значительно меньше и составляет около 0,5 по данным Янбу [10], фон Сооса [11] и других исследователей.
Степенной закон (16) был включен в модель упрочняющегося грунта (модель Hardening Soil, HS), используемую в программном комплексе PLAXIS. Здесь Вермеер [5] отмечает, что Оде [9], Янбу [10] и фон Соос [11] приводили в своих работах следующую формулу:
Вместо вышеуказанного безразмерного коэффициента в модели HS в качестве входного параметра используется Еoedref, то есть одометрический модуль деформации, соответствующий эталонному всестороннему давлению в условиях естественного залегания Pref = σ' = 100 кПа.
Разработчики восьмой версии программы PLAXIS (версия PLAXIS V8 должна была выйти вскоре после публикации рассматриваемой заметки Вермеера [5]) обсуждали использование вместо Еoedref альтернативных входных параметров – коэффициента v = 1/λ*, а также модифицированного коэффициента компрессии λ*, так как:
Фактически эта простая связь между одометрической жесткостью и модифицированным коэффициентом компрессии и заставила разработчиков задуматься об альтернативных входных параметрах.
Наконец было решено пойти еще дальше и использовать традиционный индекс компрессии Cс, применив в программе следующее уравнение:
В программе PLAXIS теперь есть выбор между вводом Eoed и Cс. Здесь Вермеер [5] отмечает, что при вводе Cс также необходимо задать значение для коэффициента пористости e.
Что касается такого входного параметра, как модуль жесткости при разгрузке и повторном нагружении при компрессионных испытаниях (Eur), то в качестве альтернативы ему в PLAXIS используется индекс рекомпрессии Cs.
—
Статья подготовлена при поддержке компании «НИП-Информатика» – партнера журнала «ГеоИнфо».
Источники
Рис. на заставке:
https://www.plaxis.com/content/uploads/2016/10/Plaxis-Bulletin-12.pdf;